Day42 | 动态规划 ：选或不选 打家劫舍&&打家劫舍II

动态规划应该如何学习？-CSDN博客

动态规划学习：

1.思考回溯法（深度优先遍历）怎么写

注意要画树形结构图

2.转成记忆化搜索

看哪些地方是重复计算的，怎么用记忆化搜索给顶替掉这些重复计算

3.把记忆化搜索翻译成动态规划

基本就是1:1转换

198.打家劫舍

198. 打家劫舍 - 力扣（LeetCode）

思路分析：

树形结构图

image-20241110122753429

先明确一下dp数组/dfs函数的含义，dp[i]就是在前i个房子里面打家劫舍，能得到的最高金额（就是题目要求的）

我们从最后一个房子倒着往前分析子问题

对于一个房子i，我们只有两种方案，选或者不选

选了的话，那我i-1就不能选了

不选的话，那我前i个房子可以得到的最大金额数量就和前i-1个房子可以得到的最大金额数量相等，因为第i个房子没选

所以可以很轻易的得出

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dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);

即在可能的两种方案中挑选一个最大值

1.回溯 DFS

1.返回值和参数

i是房子编号

nums是房子数字

dfs返回值就是前i个房子里面打家劫舍可以得到的最大金额（和dp数组含义相同）

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int dfs(int i,vector<int>& nums)

2.终止条件

可以看到我们递归到0就是叶子结点了，下标0是第一个房子，所以小于0就代表没有房子可以选了，没有房子可以选也就没有金额，就返回0

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if(i<0)
	return 0;

3.本层逻辑

如上所说，返回两者的最大值给上层递归函数就好

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return max(dfs(i-1,nums),dfs(i-2,nums)+nums[i]);

完整代码：

当然，这是超时的

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class Solution {
public:
    int dfs(int i,vector<int>& nums)
    {
        if(i<0)
            return 0;
        return max(dfs(i-1,nums),dfs(i-2,nums)+nums[i]);
    }
    int rob(vector<int>& nums) {
        return dfs(nums.size()-1,nums);
    }
};

2.记忆化搜索

就是搞一个哈希表dp，全都初始化为-1，每次返回前给哈希表dp赋值，碰到不是-1的那就是算过的，那就直接返回计算过的结果，不需要再次递归了

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class Solution {
public:
    int dfs(int i,vector<int>& nums,vector<int>& dp)
    {
        if(i<0)
            return 0;
        if(dp[i]!=-1)
            return dp[i];
        return dp[i]=max(dfs(i-1,nums,dp),dfs(i-2,nums,dp)+nums[i]);
    }
    int rob(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size(),-1);
        return dfs(nums.size()-1,nums,dp);
    }
};

3.1:1翻译为动态规划

1.确定dp数组以及下标的含义

dp数组就是前i个房子里面可以取得的最大金额

下标就是房子编号

2.确定递推公式

忘记了原因的请看思路分析部分

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dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);

3.dp数组如何初始化

第一种写法，dp数组的下标从0开始，在i=0和i=1我们的递推公式中会有不合法的状态，所以i需要从2开始

那么dp[0]和dp[1]就需要初始化，那么初始化为多少呢？

如果可以根据dp的含义想通如何初始化是最好的，比如前1间房子最大值就是nums[0]，前两间房子最大值就是max(nums[0],nums[1])

如果想不通的话，回到回溯法把0和1带进去就完事得出结果就完事

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class Solution {
public:
    int dfs(int i,vector<int>& nums)
    {
        if(i<0)
            return 0;
        return max(dfs(i-1,nums),dfs(i-2,nums)+nums[i]);
    }
    int rob(vector<int>& nums) {
        return dfs(nums.size()-1,nums);
    }
};

会得到如下的初始化方案：

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vector<int> dp(nums.size(),0);
      dp[0]=nums[0];
      if(nums.size()>1)
          dp[1]=max(nums[0],nums[1]);
      else
          return dp[0];

第二种写法

dp数组的下标全部都+2（注意nums数组的下标是没变的，此时dp数组的2对应的是nums的0）

这样就避免了下标是负数的情况，完美贴合了dfs回溯的方法

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vector<int> dp(nums.size()+2,0);
      for(int i=0;i<nums.size();i++)
          dp[i+2]=max(dp[i+1],dp[i]+nums[i]);

4.确定遍历顺序

后续结果需要依赖前面的计算结果，故使用从前往后遍历

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for(int i=2;i<nums.size();i++)
	dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);

完整代码

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class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size(),0);
        dp[0]=nums[0];
        if(nums.size()>1)
            dp[1]=max(nums[0],nums[1]);
        else
            return dp[0];
        for(int i=2;i<nums.size();i++)
            dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        return dp[nums.size()-1];
    }
};
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class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size()+2,0);
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
            dp[i+2]=max(dp[i+1],dp[i]+nums[i]);
        return dp[nums.size()+1];
    }
};

213.打家劫舍II

213. 打家劫舍 II - 力扣（LeetCode）

分两种情况，考虑是否偷 第一个房子：

如果偷 nums[0]，那么 nums[1] 和 nums[nums.size()−1] 不能偷，问题变成从 nums[2] 到 nums[nums.size()−2] 的非环形版本，直接调打家劫舍的代码
如果不偷 nums[0]，那么问题变成从 nums[1] 到 nums[nums.size()−1] 的非环形版本，直接调打家劫舍的代码

当然，如果元素数量<=2的话我们的begin+2直接是不合法的，那就做一个特殊处理就好

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class Solution {
public:
    int rob1(vector<int> nums) {
        vector<int> dp(nums.size()+2,0);
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
            dp[i+2]=max(dp[i+1],dp[i]+nums[i]);
        return dp[nums.size()+1];
    }
    int rob(vector<int>& nums) {
        if(nums.size()==1)
            return nums[0];
        if(nums.size()==2)
            return max(nums[0],nums[1]);
        return max(
            nums[0]+rob1(vector<int>(nums.begin()+2,nums.end()-1)),
            rob1(vector<int>(nums.begin()+1,nums.end())));
    }
};