Day47 | 动态规划：线性DP 最长公共子序列&&最长公共子数组

动态规划应该如何学习？-CSDN博客

本次题解参考自灵神的做法，大家也多多支持灵神的题解

最长递增子序列【基础算法精讲 20】_哔哩哔哩_bilibili

动态规划学习：

1.思考回溯法（深度优先遍历）怎么写

注意要画树形结构图

2.转成记忆化搜索

看哪些地方是重复计算的，怎么用记忆化搜索给顶替掉这些重复计算

3.把记忆化搜索翻译成动态规划

基本就是1:1转换

1143.最长公共子序列

1143. 最长公共子序列 - 力扣（LeetCode）

思路分析（子问题）:

设两个字符串分别是s和t

对应的最后一个字母分别是x和y

dfs(x,y)那就是s以x结尾，t以y结尾的两个字符串的最长公共子序列的长度了

那就有四种情况

1.选x这个字母也选y这个字母

2.不选x不选y

3.选x不选y

4.选y不选x

如果x==y，那肯定就是选x也选y，那肯定就是

1	dfs(x,y)=dfs(x-1,y-1)+1

如果说x!=y，那么就是剩下三种情况里面取一个最大值

1	dfs(x,y)=max(dfs(x-1,y-1),dfs(x,y-1),dfs(x-1,y))

再仔细一看，其实

dfs(x,y-1),dfs(x-1,y)包含了dfs(x-1,y-1)，所以不需要这个了

1	dfs(x,y)=max(dfs(x,y-1),dfs(x-1,y))

不明白可以举例

1	dfs(x,y-1)=max(dfs(x-1,y-1),dfs(x,y-2))

递归边界：

只要x或者y小于0，那么就说明有一个字符串已经没有字母可以选择了，那么就到达了边界。

1.回溯 DFS

1.返回值和参数

i是上面x字母的下标，j是y的下标

dfs(i,j)那就是s以x结尾，t以y结尾的两个字符串的最长公共子序列的长度了

1	int dfs(int i,int j,string &s,string &t)

2.终止条件

只要有一个小于0就说明没有字符可以选了

1 2	if(i<0\|\|j<0) return 0;

3.本层逻辑

相等就+1，不相等就三种选一种

if(s[i]==t[j])
          return dfs(i-1,j-1,s,t)+1;
      else
          return max(dfs(i-1,j,s,t),dfs(i,j-1,s,t));

完整代码：

当然，这是超时的

class Solution {
public:
    int dfs(int i,int j,string &s,string &t)
    {
        if(i<0||j<0)
            return 0;
        if(s[i]==t[j])
            return dfs(i-1,j-1,s,t)+1;
        else
            return max(dfs(i-1,j,s,t),dfs(i,j-1,s,t));
    }
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        return dfs(text1.size()-1,text2.size()-1,text1,text2);
    }
};

//lambda
class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        function<int(int,int)> dfs=[&](int i,int j)->int{
            if(i<0||j<0)
            return 0;
            if(text1[i]==text2[j])
                return dfs(i-1,j-1)+1;
            else
                return max(dfs(i-1,j),dfs(i,j-1));
        };
        return dfs(text1.size()-1,text2.size()-1);
    }
};

2.记忆化搜索

就是搞一个哈希表dp，全都初始化为-1，每次返回前给哈希表dp赋值，碰到不是-1的那就是算过的，那就直接返回计算过的结果，不需要再次递归了

class Solution {
public:
    int dfs(int i,int j,string &s,string &t,vector<vector<int>> &dp)
    {
        if(i<0||j<0)
            return 0;
        if(dp[i][j]!=-1)
            return dp[i][j];
        if(s[i]==t[j])
            return dp[i][j]=dfs(i-1,j-1,s,t,dp)+1;
        else
            return dp[i][j]=max(dfs(i-1,j,s,t,dp),dfs(i,j-1,s,t,dp));
    }
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size(),vector<int>(text2.size(),-1));
        return dfs(text1.size()-1,text2.size()-1,text1,text2,dp);
    }
};

//lambda
class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size(),vector<int>(text2.size(),-1));
        function<int(int,int)> dfs=[&](int i,int j)->int{
            if(i<0||j<0)
                return 0;
            if(dp[i][j]!=-1)
                return dp[i][j];
            if(text1[i]==text2[j])
                return dp[i][j]=dfs(i-1,j-1)+1;
            else
                return dp[i][j]=max(dfs(i-1,j),dfs(i,j-1));
        };
        return dfs(text1.size()-1,text2.size()-1);
    }
};

3.1:1翻译为动态规划

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]就是dfs(I,j)

下标从1开始，下标0记录的是上面if终止条件里面的(i<0||j<0)的非法状态

2.确定递推公式

和dfs中也是对应的

if(text1[i]==text2[j])
                dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
            else
                dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);

3.dp数组如何初始化

都初始化为0即可

1	vector<vector<int>> dp(text1.size()+1,vector<int>(text2.size()+1,0));

4.确定遍历顺序

从前往后遍历即可

for(int i=0;i<text1.size();i++)
          for(int j=0;j<text2.size();j++)
              if(text1[i]==text2[j])
                  dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
              else
                  dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
      return dp[text1.size()][text2.size()];

完整代码

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size()+1,vector<int>(text2.size()+1,0));
        for(int i=0;i<text1.size();i++)
            for(int j=0;j<text2.size();j++)
                if(text1[i]==text2[j])
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
                else
                    dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

718.最长重复子数组

718. 最长重复子数组 - 力扣（LeetCode）

思路：

其实就是最长连续公共子序列，在上一题条件中加了一个连续

递归公式就变成了

1 2	if(nums1[i]==nums2[j]) dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;

因为要求的是连续，所以只要x和y不相等，那就直接是0

注意一个区别就是这里需要一个变量记录一下最大值，剩下的都一样了

动态规划

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp(nums1.size()+1,vector<int>(nums2.size()+1,0));
        int res=0;
        for(int i=0;i<nums1.size();i++)
            for(int j=0;j<nums2.size();j++)
            {
                if(nums1[i]==nums2[j])
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
                res=max(res,dp[i+1][j+1]);
            }
        return res;   
    }
};

1035.不相交的线

1035. 不相交的线 - 力扣（LeetCode）

和上面最长公共子序列一个意思，代码就只是把s换成nums1，把t换成nums2，仅此而已

动态规划

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp(nums1.size()+1,vector<int>(nums2.size()+1,0));
        for(int i=0;i<nums1.size();i++)
            for(int j=0;j<nums2.size();j++)
                if(nums1[i]==nums2[j])
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
                else
                    dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
        return dp[nums1.size()][nums2.size()];
    }
};